Biegemodusschwankungen und strukturelle Stabilität von Graphen-Nanobändern （1

  EINFÜHRUNG

  Das Zusammenspiel zwischen Gitterdeformationen und Elektronendynamik ist ein wichtiger Bestandteil, der berücksichtigt werden muss, um die elektronischen Eigenschaften zukünftiger Graphen-Geräte zu verstehen und zu steuern. Auf der einen Seite eine äußere Belastungauf Graphen aufgebracht erzeugt ein pseudomagnetisches Feld, dessen Wirkung zuerst theoretisch vorhergesagt und dann experimentell bestimmt wurde.2 Dies könnte der Startpunkt eines Feldes sein, das als Dehnungsanregung bezeichnet wird, nämlich die Steuerung derelektronische Eigenschaften durch mechanische Beanspruchung. Andererseits beeinflusst die seit den ersten Experimenten in suspendierten Graphenproben beobachtete intrinsische Wellung die Elektronenbeweglichkeit. Schwankungen über diese Wellung,Biegephononen genannt, wurde als Quelle der intrinsischen Grenze der Elektronenmobilität vorgeschlagen3, und sicherlich ist die Kontrolle dieser Wellen ein wichtiger Punkt, der angesprochen werden muss.

  Wenn die Dimensionalität reduziert wird, werden Höhenschwankungen aufgrund der bekannten Tendenz zu Instabilitäten in geringen Dimensionen verstärkt. Wir erwarten, dass dicke Bänder mit quasi eindimensionaler Geometrie stärkere thermische Schwankungen aufweisen alszweidimensionale Systeme. Diese Schwankungen können wichtige Auswirkungen auf den elektronischen Transport haben, und der Mechanismus sollte identifiziert werden, um die elektronischen Eigenschaften von Graphen-Nanobändern zu steuern und zu steuern.

  Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, thermische Anregungen in Graphen-Nanobändern zu untersuchen. Wir nehmen ein Kontinuumsmodell als Ausgangspunkt, um die langwelligen akustischen Phononen berücksichtigen zu können. Unser Fokus liegt darauf zu verstehen, wie dieSchwingungsmoden werden durch unterschiedliche Randbedingungen beeinflusst und wie diese Schwingungen das statische flache Gehäuse beeinflussen. Wir analysieren diese Punkte, indem wir die Biegephononen außerhalb der Ebene und die Höhen-Höhen-Korrelationsfunktionen berechnenFür zwei verschiedene Situationen: festgeklemmte und freie Kanten.

  Die Wärmeleitfähigkeit von Phonon spielt in der Graphenphysik eine aufregende Rolle. Messungen4 zeigen, dass Graphen einer der besten Wärmeleiter sein könnte, die je bekannt waren, mit einer Wärmeleitfähigkeit von bis zu 5000 W / mK bei Raumtemperatursuspendierte Proben. Diese Ergebnisse können neue Anwendungen für die thermische Kontrolle in der Nanoelektronik eröffnen. Darüber hinaus stimmen die experimentellen Werte für K nicht überein 5, und es besteht keine Einigkeit darüber, welche Art von Phononen (in der Ebene oder außerhalb) bestehtEbene) liefern den dominanten Beitrag zu K.6. Unsere Studie könnte Aufschluss über die Rolle der Biegungsmodi in Graphen-Nanobändern geben. Wir werden diesen Punkt in den nächsten Abschnitten besprechen.

Dieses Papier ist wie folgt organisiert: In Sec. Wir führen das Hamiltonsche Modell ein, indem wir eine Kontinuumsgrenze einer gebundenen Oberfläche mit Biegeenergie festlegen. Wir diskutieren auch, wie die entsprechenden Randbedingungen berücksichtigt werden können.

  In Sec. III. Wir präsentieren einen allgemeinen Formalismus, der auf einem Pfadintegral basiert, um die Korrelationsfunktionen zu erhalten. In Sekunden IV und V erhalten wir das phononische Spektrum außerhalb der Ebene und die Korrelationsfunktionen, um deren Folgen zu analysieren. Endlich,in Sec. VI geben wir unsere Schlussfolgerungen und Perspektiven.

  DAS MODELL UND DIE GRENZENBEDINGUNGEN

  Einschichtiges und wenigschichtiges Graphen sind Systeme mit atomarer Dicke. Daher kann eine Kontinuum-Elastiktheorie für dicke Platten nicht ohne weiteres verwendet werden. Jedoch ihre mechanischen Eigenschaften, die Bildung von Wellen und das PhononSpektrum als Grundlage der Elektron-Phonon-Wechselwirkung sind durch die elastische Energieform dicker Platten gut beschrieben. Der Schlüssel zum Verständnis dieser Tatsache ist, dass die Biegesteifigkeit in Graphen nicht durch Kompressionen entstehtDilatationen des Kontinuumsmediums durch freie Oberflächen begrenzt. Daher kann der Biegesteifigkeitsparameter nicht aus den elastischen Parametern des Mediums erhalten werden; stattdessen ist es eine unabhängige GrößeDie Steifigkeit in Graphen ist auf die Bindungswinkel- und Bindungsordnungsterme zurückzuführen, die mit den Diederwinkeln der zugrunde liegenden C-C-Wechselwirkungen zusammenhängen.8

  Diese Unterscheidung hat eine besondere Bedeutung für das Vorhandensein von Kanten, wie bei den Bändern, die wir in dieser Arbeit betrachten. Um die Diskussion konkret zu machen, gehen wir von einer vereinfachten Anbindungsfläche mit Biegeenergie aus, die hatwurde in die Untersuchungen von Membranen eingeführt.9 Das Modell Hamiltonian istwobei ni der normale Einheitsvektor an der i-ten Stelle des Gitters ist und j sein nächster Nachbar ist. Wir verwenden κ¯ als Parameter für die Biegesteifigkeit im Gittermodell.

  Bisher haben wir die Integrationsdomäne und die physikalischen Randbedingungen für unser Problem nicht angegeben. Wir betrachten ein langes und schmales Band mit der Breite W und der Länge L, das entlang der y-Richtung verläuft.

  Verwenden Sie periodische Randbedingungen in y-Richtung. Daher entspricht der Oberflächenterm der letzten Zeile von Gl. verschwindet

  Der erste Term ist proportional zum Quadrat der mittleren Krümmung und der letzte zur Gaußschen Krümmung, beide in harmonischer Approximation geschrieben. In Bezug auf diese Krümmungen kann Gl. ist bekannt als die Helfrichform der BiegungEnergie einer flüssigen Membran.

  Die Ausdrücke, die h (x = ± 2, y) und ∂xh (x = ± 2, y) multiplizieren, können als die Kraft und das Drehmoment am Rand des Bandes interpretiert werden. Wenn diese Terme auf Null gesetzt werden, bedeutet das, dass freie Kanten vorhanden sind, und die Randbedingungen sind dann die Krümmung aGesamt abgeleitete abgeleitete FristIntegrieren über alle Pfade, die die Randbedingungen (8) oder (9) erfüllen.

Es ist zweckmäßig, den Pfad anhand der Eigenfunktionen des Operators O zu erweitern. Aufgrund der periodischen Randbedingung in der langen Richtung wekann seine y Abhängigkeit voneinander trennen. Die Eigenfunktionen nehmen die Form an

FEIGE. 1. (Farbe online) Dispersionskurven, die durch die Funktionen λ (q) für das eingespannte Band gegeben sind. Wir zeigen die ersten sieben Zweige des Spektrums, die tatsächlich unendlich viele sind. Im Inset zeigen wir einen Zoom des TiefsEnergiespektrum für die ersten beiden Zweige.

Folgende Annäherungen. Der erste Zweig von Fig. 1 kann seinangepasst durch eine Funktion der Form λ 0 (q)) / a0 + a1q ¯2 + a2q q 4,mit a0 = 500 ist a1 = 24 und a2 = 0,972. Wenn wir das vernachlässigenschwache Abhängigkeit der Eigenfunktionen von q¯m in Gl. (16) ist die y-Abhängigkeit der Korrelation durch die folgende Fourier-Transformation gegeben:

(h¯ (x¯1, y¯) h¯ (x2,0))

= f 0 (x 1) f 0 (x 2)

FEIGE. 2. (Farbe online) Quadrat der normalisierten Eigenfunktionen

m (x) für die ersten drei Zweige des Spektrums im geklemmtenBand. Diese Berechnungen werden für q = 6π durchgeführt.

  Die Mengen Cn repräsentieren, wie am Ende von Sec bemerkt, Normalisierungskonstanten. Darstellungen für (fn (x)) 2 mit n = 0, 1, 2 und q = 6π sind in Fig. 2 gezeigt. Wie in Ref. Dargelegt, besteht eine Lücke im Spektrum und im Nullenergiemodusist für q¯m = 0 nicht vorhanden. Dies hängt damit zusammen, dass globale Übersetzungen nicht zulässig sind, da das Farbband an den Rändern geklemmt wird. Die Lücke im ersten Zweig verhält sich als A ∼ 22,3 (in den ursprünglichen Einheiten) und nähert sich der NullWert für das unendliche quadratische Blatt. Wir erwarten, dass die Höhen-Höhen-Korrelationen an verschiedenen Punkten exponentiell abnehmen, und dies ist tatsächlich der Fall. In Fig. 3 zeigen wir den Wert von (0,25, y) (0,25,0)), der entlang der y-Richtung verläuftund numerisch aus Gl. (16). Der Beitrag der ersten drei Zweige wird gezeigt. Mit zunehmender Lücke gehen wir zu Zweigen mit höherer Energie, und die Beiträge der entsprechenden Korrelationen werden immer geringer.

  Eine schnelle Abnahme der Korrelationen wird in einer Entfernung in der Größenordnung von W beobachtet. Tatsächlich können wir die charakteristische Korrelationslänge mit der schätzen

× [α sin (qR y)) + β cos (qR y))], (22)

wobei α = 0,00499, β = 0,00271 und qR + iqI = 2,273 + i4,185 eine Null des Nenners von Gl. (21). Der Zerfall der Korrelation wird eindeutig vom exponentiellen Term dominiert. Seine charakteristische Skala, d. H. Die Korrelationslänge,ist

ξ = W / 4,185 (in den ursprünglichen Einheiten).

  Wir sehen, dass es möglich ist, die Ausdehnung der Höhen-Höhen-Korrelation durch Ändern der Breite des Farbbands zu steuern. Wenn wir diese thermische Schwankung mit der Welligkeit in Verbindung bringen, deuten diese Ergebnisse auf die charakteristische Größe derDie gerippte Region wächst linear mit der Breite der Bänder. In Fig. 4 zeigen wir die Werte von (h¯2 (x, y)) für die ersten drei Zweige von Fig. 1. Der dominante Beitrag, der vom ersten Zweig kommt, erzeugt eine maximale Verzerrung anMitte der Bänder. Die anderen Zweige erzeugen periodische Verzerrungen entsprechend der Form der Eigenfunktionen f n (), wie in Fig. 2 gezeigt. Die Anzahlder Knoten ist genau n + 2 einschließlich der an den Kanten.

  Lassen Sie uns die mögliche Verwendung der vorherigen Ergebnisse diskutieren, um den relativen Beitrag der In-Plane- und Biegephononen zur intrinsischen Wärmeleitfähigkeit von Graphen zu klären. Die Lücke im Phononenspektrum für die eingespannten Bänderimpliziert, dass in der Tat keine akustischen Phononen existieren, was zu einem starken führtReduktion von K. Wie in Ref. In 13 ist diese Lücke für realistische Werte von W tatsächlich sehr klein. Für W = 30 nm beträgt die Lücke tatsächlich AOP = 7,9 µeV. Wie die Translationssymmetrie

FEIGE. 3. (Farbe online) Höhenhöhe κ (h (0,25, y)) h (0,25,0))

Korrelation als Funktion der Entfernung in der langen Richtung für das eingespannte Band. Die Beiträge der drei ersten Zweige werden separat gezeigt. Die gestrichelte Linie steht für die durch Gl. (22). Die Länge vondie Bänder sind L = 1000 und ihre Breite W = 100.

  FEIGE. 4. (Farbe online) Mittleres Quadrat der Höhe κ (h ((¯, y)) 2) als Funktion von x the, dem Abstand zur Mitte, für das eingeklemmte Band.

  Wir zeigen die Beiträge der ersten drei Zweige. Die Länge der Bänder ist L = 1000 und ihre Breite W = 100. In alle Richtungen ist die Länge der Bänder unterbrochen, außerdem gibt es eine Lücke für die Phononen in der Ebene. Es wurde in Lit. geschätzt. 13 AIP = 1 seinmeVfür ein Band derselben Breite viel höher als AOP. Bei Temperaturen, die ausreichend unter RT liegen, erwarten wir, dass die außerhalb der Ebene liegenden Phononen angeregt werden, nicht jedoch die entsprechenden Modi in der Ebene. Wenn zukünftige Bestimmungen von K (T) eingespannt werdenProben zeigen eine Reduktion bei niedriger Temperatur, wir würden daraus schließen, dass diese Phononen für die Wärmeleitfähigkeit nicht ganz relevant sind, wie in früheren Arbeiten behauptet.